Logaritmos

OBJETIVOS

Al finalizar el estudio de este tema estarás en la capacidad de:

ü  Interpretar las propiedades de los logaritmos.
ü  Calcular logaritmos, utilizando sus propiedades.
ü  Resolver problemas que involucran el cálculo de logaritmos y la aplicación de propiedades en diversos contextos.
ü  Saber definir los logaritmos neperianos

1.-DEFINICIÓN DE LOGARITMOS

Se define logaritmo como el exponente de una potencia con cierta base, es decir, el número al cual se debe elevar una base dada para obtener un resultado determinado.

El logaritmo en base $b$ de un número $a>0$ se representa por ${\log }_b\left(a\right)$ y es el número $c$ que cumple $b^c=a$:

$${\log }_b\left(a\right)=c\iff b^c=a$$

Nota: la base $b$ debe ser un número real positivo distinto de 1. El número $a$ recibe el nombre de argumento del logaritmo.

2.-ALGUNAS PROPIEDADES

Logaritmo del producto

$$\log (a\cdot b)=\log \left(a\right)+\log \left(b\right)$$

El logaritmo de un producto de factores es la suma de los logaritmos de los factores.

Logaritmo del cociente

$$\log \left(\frac{a}{b}\right)=\log \left(a\right)-\log \left(b\right)$$

El logaritmo de un cociente es la resta de los logaritmos del numerador y del denominador.

Logaritmo de la potencia

$$\log \left(a^b\right)=b\cdot \log \left(a\right)$$

El logaritmo de una potencia es el producto del exponente de la potencia por el logaritmo de la base.

Cambio de base

$${\log }_b\left(a\right)=\frac{{\log }_c\left(a\right)}{{\log }_c\left(b\right)}$$

Propiedad

$$b^{{\log }_b\left(a\right)}=a$$

3.-PRINCIPALES LOGARITMOS

3.1.-Logaritmo decimal

El logaritmo decimal es el logaritmo en base $10$:

$${\log }_{10}\left(x\right)$$

Ejemplo: ${\log }_{10}\left(1000\right)=3$.

Es habitual no indicar la base en el logaritmo decimal, pero nosotros lo haremos para evitar confusiones.

3.2Logaritmo natural

El logaritmo natural es el logaritmo en base $e$ (es decir, el número de Euler, $e\approx 2,\mathrm{7182...}$):

$${\log }_e\left(x\right)$$

Normalmente, el logaritmo natural se escribe como

$$\ln \left(x\right)$$

Ejemplo: $\ln \left(e^3\right)={\log }_e\left(e^3\right)=3$.

No es correcto llamar logaritmo neperiano al logaritmo en base $e$ (logaritmo natural), aunque es muy habitual que se haga. El logaritmo neperiano lo veremos a continuación.

 Ejercicios resueltos

La chica en el video es Jimena Moreno

Explicado por  el alumno Brayan Isidro

REFERENCIAS

https://www.logaritmo.info/

https://www.logaritmo.info/concepto/calcular-logaritmos-ejemplos-decimal-binario-natural-ejercicios-resueltos.html